第二价格拍卖

根据第二价格拍卖规则，出价最高的人支付第二高价获得拍品。假设竞拍人 $i \in {1, 2}$ 对拍品的主观价值为 $v_{i} \sim U (0, 1)$ ，出价策略为 $b_{i} = a_{i} + c_{i} v_{i}$ 形式，求最优出价策略。

竞拍人 $i$ 的效用函数为（ $b_{i} = b_{j}$ 的概率为零）

u_{i} = {\begin{cases} v_{i} - b_{j} & b_{i} > b_{j} \\ 0 & b_{i} < b_{j} \end{cases}

竞拍人 $i$ 的效用最大化问题为

\begin{aligned} max_{b_{i}} (v_{i} - E [b_{j} ∣ b_{i} > b_{j}]) P (b_{i} > b_{j}) \\ = & max_{b_{i}} (v_{i} - [\frac{a_{j} + b_{i}}{2}]) (\frac{b_{i} - a_{j}}{c_{j}}) \end{aligned}

其中 $b_{j} \in [a_{j}, a_{j} + c_{j}]$ ，区间 $[a_{j}, b_{i}]$ 的均值为 $\frac{a_{j} + b_{i}}{2}$ ， $P (b_{i} > b_{j})$ 的计算和第一价格拍卖类似。

F.O.C.

- \frac{1}{2} (\frac{b_{i} - a_{j}}{c_{j}}) + \frac{1}{c_{j}} (v_{i} - [\frac{a_{j} + b_{i}}{2}]) = 0

解得最优策略为

b_{i} = v_{i}